Sistemas de equações do 2º grau

Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir: 

Exemplo 1

Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 

Substituindo o valor de x na 1ª equação: 

x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 

y² – 6y + 8 = 0 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
∆ = 36 – 32 
∆ = 4 

a = 1, b = –6 e c = 8

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 

Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 

Par ordenado (2; 4) 


Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 

Par ordenado (4; 2) 

S = {(2: 4) e (4; 2)} 

Exemplo 2

Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 

Substituindo o valor de x na 1ª equação: 

x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 

y² – 2y – 3 = 0 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 

a = 1, b = –2 e c = –3 

Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 

Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 

Par ordenado (0; 3) 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
x = –1 –3 
x = –4 

Par ordenado (–4; –1) 

S = {(0; 3) e (–4; –1)} 

- Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192   4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16                 1

x² +xy = 48                 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim:    2x + y = 16        1

                        y = 16 - 2x

Substituindo y em  2 , temos:

               x² + x ( 16 - 2x) = 48

              x ² + 16x - 2x² = 48

                - x²  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.

                  x² - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

   

Isolando y em 1

               y - 3x = -1  y = 3x - 1

Substituindo em  2

           x²  - 2x(3x - 1)  = -3

           x² - 6x² + 2x    = -3   

          -5x² + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.

           5x² - 2x - 3     = 0

x'=1       e    x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

                                            

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .

Logo, temos para conjunto verdade: